ヘルムホルツ共鳴の仕組みと共鳴周波数の理論の簡単な証明

This article is available in: English

はじめに
音が鳴る仕組み

はじめに

空き瓶の飲み口に息を吹きかけると、「ボーーッ」という音が鳴るかと思います。この現象をヘルムホルツ共鳴と呼びます。今回は、そのヘルムホルツ共鳴のメカニズムについて解説していきます。

ヘルムホルツ共鳴によって鳴る「ボーーッ」という音の周波数（共鳴周波数）は次のようにあらわすことができます。

ヘルムホルツ共鳴の共鳴周波数

音速を$v$とし、ボトルの胴体の体積を $V_0$ 、ネックの断面積と長さをそれぞれ $S, L$ としたとき、ヘルムホルツ共鳴の共鳴周波数 $f_{\rm H}$ は下記のようになる。

\begin{eqnarray*}
f_{\rm H} = \frac{v}{2\mathrm{\pi}}\sqrt{\frac{S}{V_0 L}}\tag{☆}
\end{eqnarray*}

この表式を導いてみましょう。

音が鳴る仕組み

ヘルムホルツ共鳴がおこる仕組みは比較的単純で、以下のようになっています。

① ビンの飲み口に息を吹きかけると、ネック部分の空気がボトルにおしこまれる。

② ボトル内の圧力が上昇し、空気を押し返す。

①　⇄　②　の繰り返しによって空気が振動し、音が鳴る。

(☆)を導くために、まずはネック部分の空気を質量 $m$ のピストンとみなしましょう。ネック部分の断面積、長さをそれぞれ $S, L$ とし、空気の密度を $\rho$ とすれば

\begin{eqnarray}
m \approx \rho S L
\end{eqnarray}

と近似的に表すことができます。

さて、ピストンに力がかかっていない状況では、内部の気体の圧力は外気圧と等しく $P_0$ であり、その体積は $V_0$ です。

今、ピストンを $x$ だけ押し込んで、圧力が $P$ 、体積が $V$ と変化したとすると、ピストンには

\begin{eqnarray}
F = -S(P – P_0)
\end{eqnarray}

の復元力がかかります。また、ピストンの押し込みによる気体の膨張、圧縮は断熱操作であると仮定しましょう。すると、ポアソンの関係式から

\begin{eqnarray}
PV^{\gamma} = P_0V_0^{\gamma}
\end{eqnarray}

が成り立ちます。ここで、$\gamma$ は比熱比です。また、

\begin{eqnarray}
V = V_0 – Sx
\end{eqnarray}

が成り立ちますから、(4)を(3)に代入して、

\begin{eqnarray*}
&P&(V_0 – Sx)^{\gamma} = P_0V_0^{\gamma} \\
\\
\therefore\ &P& = P_0V_0^{\gamma} \cdot (V_0 – Sx)^{-\gamma} \\
&&= P_0V_0^{\gamma} \cdot V_0^{-\gamma} \left(1 – \frac{Sx}{V_0}\right)^{-\gamma} \\
&&= P_0 \left(1 – \frac{Sx}{V_0}\right)^{-\gamma} \\
\end{eqnarray*}

を得ます。

ここで、$\frac{Sx}{V_0}$ は微少量であることを考えると、$|\varepsilon| \ll 1$の時に成り立つ関係式： $(1 + \varepsilon)^{\alpha} \approx 1 + \alpha\varepsilon$ を用いて

\begin{eqnarray}
\begin{split}
P &=& P_0 \left(1 – \frac{Sx}{V_0}\right)^{-\gamma} \\
&\approx& P_0 \left(1 + \gamma \frac{Sx}{V_0}\right)
\end{split}
\end{eqnarray}

と表すことができます。よって、(5)を(2)に代入すれば

\begin{eqnarray*}
F &=& -S\left\{ P_0 \left(1 + \gamma \frac{Sx}{V_0}\right) – P_0\right\} \\
&=& – \gamma \frac{P_0S^2}{V_0} \cdot x
\end{eqnarray*}

となります。

したがって、質量 $m$ のネック部分の空気が従う運動方程式は

\begin{eqnarray*}
m \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2} =\, – \gamma \frac{P_0S^2}{V_0} \cdot x
\end{eqnarray*}

となり、バネ定数 $k = \gamma\frac{P_0S^2}{V_0}$ の単振動と見なすことができます。