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はじめに
以前の記事では1変数関数 $f(x)$ のテイラー展開について述べました。
テイラー展開の理論を解説〜なぜ多項式で表現できるのか〜
テイラー展開をゆるーく導出しましょう。テイラー展開の素晴らしさは、関数を多項式で表現できることにあると思います。
laid-back-scientist.com
2023.11.05
では、多変数関数のテイラー展開はどのように表現できるのでしょうか？
まずは、2変数関数 $f(x, y)$ のテイラー展開について述べます。
2変数関数のテイラー展開
関数 $f(x, y)$ が、$x = a, y = b$ を含む区間で無限回微分可能であるとき、
\begin{eqnarray*}
f(x + a, y + b) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f(x, y)
\end{eqnarray*}
と表現できる。
f(x + a, y + b) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f(x, y)
\end{eqnarray*}
なぜ成り立つのか？
2変数関数 $z = f(x, y)$ の $x, y$ を媒介変数 $t$ を用いて次のように表しましょう。
\begin{eqnarray*}
x &=& x_0 + at \\
y &=& y_0 + bt
\end{eqnarray*}
x &=& x_0 + at \\
y &=& y_0 + bt
\end{eqnarray*}
ここで、$x_0, y_0, a, b$ は定数とします。すると、$z = f(x, y) = f(x_0 + at, y_0 + bt)$ となるので、
\begin{eqnarray*}
z = z(t)
\end{eqnarray*}のように $z$ は$t$ の1変数関数とみなすことができます。
z = z(t)
\end{eqnarray*}のように $z$ は$t$ の1変数関数とみなすことができます。
さて、$z(t)$ の $t$ による微分をもとめてみましょう。合成関数の微分から下記と表すことができます。
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}
\end{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray*}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x_0 + at) = a \\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(y_0 + bt) = b
\end{eqnarray*}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x_0 + at) = a \\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(y_0 + bt) = b
\end{eqnarray*}
を代入すると、(1)は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} &=& a \frac{\partial z}{\partial x} +b \frac{\partial z}{\partial y} \\
&=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) z
\end{split}
\end{eqnarray}
\begin{split}
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} &=& a \frac{\partial z}{\partial x} +b \frac{\partial z}{\partial y} \\
&=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) z
\end{split}
\end{eqnarray}
となります。
次に、$z(t)$ の $t$ による2階微分は、
\begin{eqnarray*}
\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \right) &\underset{(2)より}{=}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) z \\
&=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \\
&\underset{(2)より}{=}& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) z \\&=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 z \tag{3}
\end{eqnarray*}
\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \right) &\underset{(2)より}{=}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) z \\
&=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \\
&\underset{(2)より}{=}& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) z \\&=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 z \tag{3}
\end{eqnarray*}
と表現できます。
同様にして、3階微分・・・$n$ 階微分は、
\begin{eqnarray*}
\frac{\mathrm{d}^3z}{\mathrm{d}t^3} &=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^3 z \\
& \vdots & \\
\frac{\mathrm{d}^n z}{\mathrm{d}t^n} &=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^n z \\
\end{eqnarray*}
\frac{\mathrm{d}^3z}{\mathrm{d}t^3} &=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^3 z \\
& \vdots & \\
\frac{\mathrm{d}^n z}{\mathrm{d}t^n} &=& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^n z \\
\end{eqnarray*}
となります。
ここで、 $z(t)$ のマクローリン展開から、
\begin{eqnarray*}
z(t) = z(0) + \frac{\mathrm{d}z(0)}{\mathrm{d}t}\, t + \frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d^2}z(0)}{\mathrm{d}t^2}\, t^2 + \cdots
\end{eqnarray*}
z(t) = z(0) + \frac{\mathrm{d}z(0)}{\mathrm{d}t}\, t + \frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d^2}z(0)}{\mathrm{d}t^2}\, t^2 + \cdots
\end{eqnarray*}
であり、$t = 1$ を代入すると
\begin{eqnarray*}
z(1) = z(0) + \frac{\mathrm{d}z(0)}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d^2}z(0)}{\mathrm{d}t^2} + \cdots \tag{☆}
\end{eqnarray*}
z(1) = z(0) + \frac{\mathrm{d}z(0)}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d^2}z(0)}{\mathrm{d}t^2} + \cdots \tag{☆}
\end{eqnarray*}
となります。
今、$z(t) = f(x_0 + at,\ y_0 + bt)$ ですので、
(☆)の左辺は、
\begin{eqnarray*}
(☆)左辺: z(1) &=& f(x_0 + a\cdot 1,\ y_0 + b\cdot 1) \\
&=& f(x_0 + a, y_0 + b)\end{eqnarray*}
(☆)左辺: z(1) &=& f(x_0 + a\cdot 1,\ y_0 + b\cdot 1) \\
&=& f(x_0 + a, y_0 + b)\end{eqnarray*}
です。
(☆)の右辺は、
\begin{eqnarray*}
z(0) &=& f(x_0, y_0) \\
\\
\frac{\mathrm{d}z(0)}{\mathrm{d}t} &\underset{(2)より}{=}& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) z(0) = \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) f(x_0, y_0) \\
\\
\frac{\mathrm{d^2}z(0)}{\mathrm{d}t^2} &\underset{(3)より}{=}& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 z(0) = \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 f(x_0, y_0) \\
&\vdots&
\end{eqnarray*}
z(0) &=& f(x_0, y_0) \\
\\
\frac{\mathrm{d}z(0)}{\mathrm{d}t} &\underset{(2)より}{=}& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) z(0) = \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) f(x_0, y_0) \\
\\
\frac{\mathrm{d^2}z(0)}{\mathrm{d}t^2} &\underset{(3)より}{=}& \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 z(0) = \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 f(x_0, y_0) \\
&\vdots&
\end{eqnarray*}
となりますから、
\begin{eqnarray*}
(☆)右辺: &&z(0) + \frac{\mathrm{d}z(0)}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d^2}z(0)}{\mathrm{d}t^2} + \cdots\\
&=&f(x_0,\ y_0) + \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) f(x_0, y_0) + \frac{1}{2!} \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 f(x_0, y_0) +\cdots
\end{eqnarray*}
(☆)右辺: &&z(0) + \frac{\mathrm{d}z(0)}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d^2}z(0)}{\mathrm{d}t^2} + \cdots\\
&=&f(x_0,\ y_0) + \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) f(x_0, y_0) + \frac{1}{2!} \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 f(x_0, y_0) +\cdots
\end{eqnarray*}
です。
したがって、(☆)は
\begin{eqnarray}
f(x_0+a,\ y_0+b) = f(x_0,\ y_0) + \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) f(x_0, y_0) + \frac{1}{2!} \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 f(x_0, y_0) +\cdots
\end{eqnarray}
f(x_0+a,\ y_0+b) = f(x_0,\ y_0) + \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) f(x_0, y_0) + \frac{1}{2!} \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 f(x_0, y_0) +\cdots
\end{eqnarray}
と表されます。
$x_0, y_0$ をそれぞれ $x, y$ と置き換えると
\begin{eqnarray*}
f(x+a,\ y+b) &=& f(x,\ y) + \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) f(x, y) + \frac{1}{2!} \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 f(x, y) +\cdots \\
\\
&=&\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f(x,\ y)
\end{eqnarray*}
f(x+a,\ y+b) &=& f(x,\ y) + \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right) f(x, y) + \frac{1}{2!} \left( a \frac{\partial }{\partial x} +b \frac{\partial }{\partial y}\right)^2 f(x, y) +\cdots \\
\\
&=&\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f(x,\ y)
\end{eqnarray*}
となり、2変数関数のテイラー展開の表式を得ることができました。
多変数関数のテイラー展開
一般に、多変数関数のテイラー展開は以下のように記述できます。
\begin{eqnarray*}
f(x+a) &=& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} \right)^k f(x) \\
\\
f(x+a,\ y+b) &=& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} + b
\frac{\partial}{\partial y}\right)^k f(x,\ y) \\
\\
f(x+a,\ y+b,\ z+c) &=& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} + b
\frac{\partial}{\partial y} + c \frac{\partial}{\partial z} \right)^k f(x,\ y,\ z) \\
&\vdots&
\end{eqnarray*}
f(x+a) &=& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} \right)^k f(x) \\
\\
f(x+a,\ y+b) &=& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} + b
\frac{\partial}{\partial y}\right)^k f(x,\ y) \\
\\
f(x+a,\ y+b,\ z+c) &=& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a \frac{\partial}{\partial x} + b
\frac{\partial}{\partial y} + c \frac{\partial}{\partial z} \right)^k f(x,\ y,\ z) \\
&\vdots&
\end{eqnarray*}
したがって、$n$ 変数関数のテイラー展開は下記のようになります。
$n$ 変数関数のテイラー展開
\begin{align*}
&f(x_1+a_1,\ x_1+a_2, \dots, x_n+a_n) \\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + a_2
\frac{\partial}{\partial x_2} + \cdots + a_n \frac{\partial}{\partial x_n} \right)^k f(x_1,\ x_2, \dots, x_n)
\end{align*}
&f(x_1+a_1,\ x_1+a_2, \dots, x_n+a_n) \\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(a_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + a_2
\frac{\partial}{\partial x_2} + \cdots + a_n \frac{\partial}{\partial x_n} \right)^k f(x_1,\ x_2, \dots, x_n)
\end{align*}
