【テイラー展開の例題】exp, sin, cos のマクローリン展開とオイラーの公式の証明

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はじめに
$\mathrm{e}^x$ のマクローリン展開
$\sin{x}$ のマクローリン展開
$\cos{x}$ のマクローリン展開
オイラーの公式

はじめに

前回はテイラー展開について記事を書きました。

テイラー展開の理論を解説〜なぜ多項式で表現できるのか〜

テイラー展開をゆるーく導出しましょう。テイラー展開の素晴らしさは、関数を多項式で表現できることにあると思います。

テイラー展開を再載しておくと、

テイラー展開

関数 $f(x)$ が、 $x = a$ を含む区間で無限回微分可能であるとき、 $f(x)$ は

$\begin{eqnarray*} f(x) &=& f(a) + f^{\prime}(a)\, (x – a) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(a)\, (x-a)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)\, (x-a)^n + \cdots \\ &=& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!}f^{(k)}(a)\, (x-a)^k \end{eqnarray*}$

と表され、これを「

$a$ まわりでのテイラー展開」とよぶ。

特に、 $x = 0$ すなわち原点まわりでのテイラー展開を「マクローリン展開」とよびます。

マクローリン展開

$\begin{eqnarray*} f(x) &=& f(0) + f^{\prime}(0)\, x + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)\, x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\, x^n + \cdots \\ &=& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!}f^{(k)}(0)\, x^k \end{eqnarray*}$

今回はこれの具体例として $\mathrm{e}^x,\ \sin{x},\ \cos{x}$ のマクローリン展開を計算します。まずは、結果を先に書いちゃいます。

$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{x} &=& 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !} \\ \\ \sin x &=& x-\frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^5}{5!}\, – \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !} \\ \\ \cos x &=& 1-\frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^4}{4!}\, – \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k) !} \end{eqnarray*}$

実際に計算してこれらを確かめてみましょう。

$\mathrm{e}^x$ のマクローリン展開

マクローリン展開を計算するために $f(x) = \mathrm{e}^x$ の微分を計算しましょう。
指数関数 $\mathrm{e}^x$ の性質から、

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) &=& \mathrm{e}^x \\ \\ f^{\prime\prime}(x) &=& \mathrm{e}^x \\ \\ f^{(3)}(x) &=& \mathrm{e}^x \\ \\ &\vdots& \end{eqnarray*}$

と微分しても関数の形が変化しません。したがって、

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(0) = f^{\prime\prime}(0) = f^{(3)}(0) = \cdots = 1 \end{eqnarray*}$

となるので、マクローリン展開の公式に代入すると、

$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{x} &=& 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

が確かめられました。

$\sin{x}$ のマクローリン展開

$f(x) = \sin{x}$ の微分を計算します。

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) &=& \cos{x} \\ \\ f^{\prime\prime}(x) &=& -\sin{x} \\ \\ f^{(3)}(x) &=& -\cos{x} \\ \\ f^{(4)}(x) &=& \sin{x}\\ \\ &\vdots& \end{eqnarray*}$

のように4階微分すれば元の関数へ戻ります。よって、

$k$ 階微分は、

$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(x) &=& \left\{ \begin{array}{ll} \cos{x}\ \ &(k = 1, 5, 9, \dots) \\ -\sin{x}\ \ &(k = 2, 6, 10, \dots) \\ -\cos{x}\ \ &(k = 3, 7, 11, \dots) \\ \sin{x}\ \ &(k = 4, 8, 12, \dots) \\ \end{array} \right. \\ \\ &=& \sin{\left(x + \frac{k\pi}{2} \right)}\ \ (k = 1, 2, 3, \dots) \end{eqnarray*}$

となりますから、

$x = 0$ では、

$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(0) &=& \left\{ \begin{array}{ll} 1\ \ &(k = 1, 5, 9, \dots) \\ 0\ \ &(k = 2, 6, 10, \dots) \\ -1\ \ &(k = 3, 7, 11, \dots) \\ 0\ \ &(k = 4, 8, 12, \dots) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

と

$k$ が奇数の時だけ値をもちます。マクローリン展開の公式に代入して、

$\begin{eqnarray*} \sin x &=& x-\frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^5}{5!}\, – \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !} \end{eqnarray*}$

が確かめられました。

$\cos{x}$ のマクローリン展開

$f(x) = \cos{x}$ の微分も計算しましょう。

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) &=& -\sin{x} \\ \\ f^{\prime\prime}(x) &=& -\cos{x} \\ \\ f^{(3)}(x) &=& \sin{x} \\ \\ f^{(4)}(x) &=& \cos{x}\\ \\ &\vdots& \end{eqnarray*}$

のように4階微分すれば元の関数へ戻ります。よって、

$k$ 階微分は、

$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(x) &=& \left\{ \begin{array}{ll} -\sin{x}\ \ &(k = 1, 5, 9, \dots) \\ -\cos{x}\ \ &(k = 2, 6, 10, \dots) \\ \sin{x}\ \ &(k = 3, 7, 11, \dots) \\ \cos{x}\ \ &(k = 4, 8, 12, \dots) \\ \end{array} \right. \\ \\ &=& \cos{\left(x + \frac{k\pi}{2} \right)}\ \ (k = 1, 2, 3, \dots) \end{eqnarray*}$

となりますから、

$x = 0$ では、

$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(0) &=& \left\{ \begin{array}{ll} 0\ \ &(k = 1, 5, 9, \dots) \\ -1\ \ &(k = 2, 6, 10, \dots) \\ 0\ \ &(k = 3, 7, 11, \dots) \\ 1\ \ &(k = 4, 8, 12, \dots) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

と

$k$ が偶数の時だけ値をもちます。マクローリン展開の公式に代入して、

$\begin{eqnarray*} \cos x &=& 1-\frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^4}{4!}\, – \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k) !} \end{eqnarray*}$

が確かめられました。