引言
二项式定理是一个通用性极高的定理，在许多地方都会遇到。本文将介绍二项式定理及其推广形式——多项式定理。
$(x + y)$ 的任意次幂可以表示为
(x + y)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}xy^{n-1} + y^n
\end{eqnarray*}即
\begin{eqnarray*}
(x + y)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}x^k y^{n-k}\tag{☆}
\end{eqnarray*}
的展开式。
※ 其中 $\dbinom{n}{k} = {}_n \mathrm{C} _k \equiv \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$。
\begin{eqnarray*}
\definecolor{myblack}{rgb}{0.27,0.27,0.27}
\definecolor{myred}{rgb}{0.78,0.24,0.18}
\definecolor{myblue}{rgb}{0.0,0.443,0.737}
\definecolor{myyellow}{rgb}{1.0,0.82,0.165}
\definecolor{mygreen}{rgb}{0.24,0.47,0.44}
\end{eqnarray*}
关于二项式定理
首先让我们具体地展开 $(x+y)^{n}$。
(x+y)^{2}&=&x^{2}+2 x y+y^{2} \\
(x+y)^{3}&=&x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3} \\
(x+y)^{4}&=&x^{4}+4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}+4 x y^{3}+y^{4}\\
&\vdots&
\end{eqnarray*}
这里各项 $x^ay^b$ 的系数被称为”二项式系数“。这些二项式系数的出现具有规律性，表达这种规律的就是”帕斯卡三角形“。
这样，帕斯卡三角形的第 $n$ 行就表示了展开 $(x + y)^n$ 时出现的二项式系数。
接下来，让我们推导二项式定理(☆)。这里我们使用组合数的讨论方法。
首先，将待展开的式子写成
(x+y)^{n}=\underbrace{(x+y)(x+y) \cdots(x+y)}_{n \text { factors }}
\end{eqnarray}
展开该式时出现的项 $x^k y^{n-k}$ 的系数是……
(1)从右边 $n$ 个 $(x+y)$ 中，
取出 $k$ 个 $x$ 和 $n-k$ 个 $y$ 的组合数：$\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dbinom{n}{k}$
相等。
具体示例
・展开 $(x + y)^5$ 时，考虑 $x^3y^2$ 的系数。
(x + y)^5 = \underbrace{(x+y)(x+y) \cdots(x+y)}_{5 \text { factors }}
\end{eqnarray*}
从5个 $(x + y)$ 中选择 $3$ 个 $x$ 和 $2$ 个 $y$ 的组合数为
\binom{5}{3} \cdot \binom{2}{2} &=& \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot \frac{2!}{2!(2-2)!} \\
&=& \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10
\end{eqnarray*}
因此，$x^3y^2$ 的系数是 $10$。
因此，
(x + y)^n &=& x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}xy^{n-1} + y^n \\
&=& \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}x^k y^{n-k}
\end{eqnarray*}
成立。
关于多项式定理
让我们考虑作为二项式定理推广形式的多项式定理。
$\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}\right)^{n}$ 的任意次幂可以表示为
\begin{align*}
\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}\right)^{n} &= \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m}=n}\ \binom{n}{k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{m}^{k_{m}} \\
&= \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m}=n} \frac{n !}{k_1!\ k_2!\ \cdots\ k_m!} \ x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{m}^{k_{m}}
\end{align*}
的展开式。
虽然看起来有些复杂，但简单来说就是
展开 $\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}\right)^{n}$ 时，项 $x_{1}^{k_1}x_{2}^{k_2}\cdots x_{m}^{k_m}$ 的系数如下。
\begin{align*}
\dfrac{n !}{k_1!\ k_2!\ \cdots\ k_m!} \tag{♡}
\end{align*}
※其中，$\ \ (k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n)$
这就是其含义。
这里我们同样使用组合数的讨论方法来推导 $(\heartsuit)$。
将待展开的式子写成
(x_1+x_2+\cdots+x_m)^{n}=\underbrace{(x_1+x_2+\cdots+x_m)\cdots(x_1+x_2+\cdots+x_m)}_{n \text { factors }}
\end{eqnarray}
展开该式时出现的项 $x_{1}^{k_1}x_{2}^{k_2}\cdots x_{m}^{k_m}$ 的系数是……
(2)从右边 $n$ 个 $(x_1+x_2+\cdots+x_m)$ 中，
取出 $k_1$ 个 $x_1$、$k_2$ 个 $x_2$、$\cdots$、$k_m$ 个 $x_m$ 的组合数
相等。
具体示例
・展开 $(x + y+z)^6$ 时，考虑 $x^3y^2z$ 的系数。
(x + y+z)^6 = \underbrace{(x+y+z) \cdots(x+y+z)}_{6 \text { factors }}
\end{eqnarray*}
从6个 $(x + y+z)$ 中选择 $3$ 个 $x$、$2$ 个 $y$ 和 $1$ 个 $z$ 的组合数为
\binom{6}{3} \cdot \binom{3}{2}\cdot \binom{1}{1} &=& \frac{6!}{3!\textcolor{myred}{\cancel{\textcolor{myblack}{(6-3)!}}}} \cdot \frac{\textcolor{myred}{\cancel{\textcolor{myblack}{3!}}}}{2!\textcolor{myblue}{\cancel{\textcolor{myblack}{(3-2)!}}}} \cdot \frac{\textcolor{myblue}{\cancel{\textcolor{myblack}{1!}}}}{1!}\\
&=& \frac{6!}{3!2!1!} = 60
\end{eqnarray*}
因此，$x^3y^2z$ 的系数是 $60$。
从 $n$ 个 $(x_1+x_2+\cdots+x_m)$ 中，
取出 $k_1$ 个 $x_1$、$k_2$ 个 $x_2$、$\cdots$、$k_m$ 个 $x_m$ 的组合数如下。
\begin{eqnarray*}
&&\binom{n}{k_1} \cdot \binom{n-k_1}{k_2} \cdot \binom{n-k_1-k_2}{k_3} \cdots \binom{n-k_1- \cdots -k_m}{k_m} \\
\\
&=& \frac{n!}{k_1!\textcolor{myred}{\cancel{\textcolor{myblack}{(n-k_1)!}}}} \cdot \frac{\textcolor{myred}{\cancel{\textcolor{myblack}{(n-k_1)!}}}}{k_2!\textcolor{myblue}{\cancel{\textcolor{myblack}{(n-k_1-k_2)!}}}} \cdot \frac{\textcolor{myblue}{\cancel{\textcolor{myblack}{(n-k_1-k_2)!}}}}{k_3!\textcolor{myyellow}{\cancel{\textcolor{myblack}{(n-k_1-k_2-k_3)!}}}}\cdots \frac{\textcolor{mygreen}{\cancel{\textcolor{myblack}{(n-k_1-\cdots -k_m)!}}}}{k_m!(n-k_1-\cdots-k_m)!} \\
&=& \frac{n!}{k_1!\ k_2!\ \cdots\ k_m!} \cdot \frac{1}{(n – (\underbrace{k_1+ \cdots + k_m}_{= n}) )!}
\end{eqnarray*}
因此，$(\heartsuit)$ 成立。
