ハードマージンのサポートベクターマシン(SVM)の解説 pythonによる実装と例題

プログラミング

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はじめに

 前回の記事ではハードマージンSVMの理論について述べました。

今回はそれをふまえてPythonを用いた実装をおこなっていきます。

ハードマージンのサポートベクターマシン(SVM)の解説 理論編
ハードマージンサポートベクターマシン(SVM)の理論を分かりやすく解説します。SVMとは、パターン識別用の教師あり機械学習アルゴリズムの1種です。「マージンを最大化する」というアイデアで優秀な2クラス分類のアルゴリズムとなっています。

また、以下のコードはGoogle Colabで動作します。

Google Colab

\begin{align*}
\newcommand{\mat}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\d}[2]{\frac{{\rm d}#1}{{\rm d}#2}}
\newcommand{\T}{\mathsf{T}}
\newcommand{\(}{\left(}
\newcommand{\)}{\right)}
\newcommand{\{}{\left\{}
\newcommand{\}}{\right\}}
\newcommand{\[}{\left[}
\newcommand{\]}{\right]}
\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\eq}[1]{{\rm Eq}(\ref{#1})}
\newcommand{\n}{\notag\\}
\newcommand{\t}{\ \ \ \ }
\newcommand{\tt}{\t\t\t\t}
\newcommand{\argmax}{\mathop{\rm arg\, max}\limits}
\newcommand{\argmin}{\mathop{\rm arg\, min}\limits}
\def\l<#1>{\left\langle #1 \right\rangle}
\def\us#1_#2{\underset{#2}{#1}}
\def\os#1^#2{\overset{#2}{#1}}
\newcommand{\case}[1]{\{ \begin{array}{ll} #1 \end{array} \right.}
\newcommand{\s}[1]{{\scriptstyle #1}}
\definecolor{myblack}{rgb}{0.27,0.27,0.27}
\definecolor{myred}{rgb}{0.78,0.24,0.18}
\definecolor{myblue}{rgb}{0.0,0.443,0.737}
\definecolor{myyellow}{rgb}{1.0,0.82,0.165}
\definecolor{mygreen}{rgb}{0.24,0.47,0.44}
\newcommand{\c}[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand{\ub}[2]{\underbrace{#1}_{#2}}
\end{align*}

ハードマージンSVMの理論概要

 観測した $n$ 個の $p$ 次元データを $X$、$n$ 個のラベル変数の組を $\bm{y}$ として、それぞれ下記と表記します。

\begin{align*}
\us X_{[n \times p]} = \mat{x_1^{(1)} & x_2^{(1)} & \cdots & x_p^{(1)} \\
x_1^{(2)} & x_2^{(2)} & \cdots & x_p^{(2)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1^{(n)} & x_2^{(2)} & \cdots & x_p^{(n)}}
=
\mat{ – & \bm{x}^{(1)\T} & – \\
– & \bm{x}^{(2)\T} & – \\
& \vdots & \\
– & \bm{x}^{(n)\T} & – \\},
\t
\us \bm{y}_{[n \times 1]} = \mat{y^{(1)} \\ y^{(2)} \\ \vdots \\ y^{(n)}}.
\end{align*}

前回の帰結から、分離超平面を決定するパラメータは次式で計算できるのでした。

\begin{align}
\hat{\bm{w}} &= \sum_{\bm{x}^{(i)} \in S} \hat{\alpha}_i y^{(i)} \bm{x}^{(i)}, \\
\hat{b} &= \f{1}{|S|} \sum_{\bm{x}^{(i)} \in S} (y^{(i)} – \hat{\bm{w}}^\T \bm{x}^{(i)}).
\end{align}

(ここで、$S$ はサポートベクトルの集合)

 また、$\bm{\alpha} = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)^\T$ はラグランジュの未定乗数の組で、ここでは最急降下法を用いて、その最適解 $\hat{\bm{\alpha}}$ を求めます。

\begin{align*}
\bm{\alpha}^{[t+1]} = \bm{\alpha}^{[t]} + \eta \pd{\tilde{L}(\bm{\alpha})}{\bm{\alpha}}.
\end{align*}

勾配ベクトル $\pd{\tilde{L}(\bm{\alpha})}{\bm{\alpha}}$ の値は、

\begin{align}
\us H_{[n \times n]} \equiv \us \bm{y}_{[n \times 1]} \us \bm{y}^{\T}_{[1 \times n]} \odot \us X_{[n \times p]} \us X^{\T}_{[p \times n]}
\end{align}

を用いて、

\begin{align}
\pd{\tilde{L}(\bm{\alpha})}{\bm{\alpha}} = \bm{1}\, – H \bm{\alpha}.
\end{align}

として計算できました。

ハードマージンSVMをフルスクラッチで実装

 上記より、ハードマージンSVMをフルスクラッチで実装します。

import numpy as np

class HardMarginSVM:
    """
    Attributes
    ----------
    eta : float
        学習率
    epoch : int
        エポック数
    random_state : int
        乱数シード
    is_trained : bool
        学習完了フラグ
    num_samples : int
        学習データのサンプル数
    num_features : int
        特徴量の数
    w : NDArray[float]
        パラメータベクトル: (num_features, )のndarray
    b : float
        切片パラメータ
    alpha : NDArray[float]
        未定乗数: (num_samples, )のndarray

    Methods
    -------
    fit -> None
        学習データについてパラメータベクトルを適合させる
    predict -> NDArray[int]
        予測値を返却する
    """
    def __init__(self, eta=0.001, epoch=1000, random_state=42):
        self.eta = eta
        self.epoch = epoch
        self.random_state = random_state
        self.is_trained = False

    def fit(self, X, y):
        """
        学習データについてパラメータベクトルを適合させる

        Parameters
        ----------
        X : NDArray[NDArray[float]]
            学習データ: (num_samples, num_features)の行列
        y : NDArray[float]
            学習データの教師ラベル: (num_samples)のndarray
        """
        self.num_samples = X.shape[0]
        self.num_features = X.shape[1]
        # パラメータベクトルを0で初期化
        self.w = np.zeros(self.num_features)
        self.b = 0
        # 乱数生成器
        rgen = np.random.RandomState(self.random_state)
        # 正規乱数を用いてalpha(未定乗数)を初期化
        self.alpha = rgen.normal(loc=0.0, scale=0.01, size=self.num_samples)

        # 最急降下法を用いて双対問題を解く
        for _ in range(self.epoch):
            self._cycle(X, y)
        
        # サポートベクトルのindexを取得
        indexes_sv = [i for i in range(self.num_samples) if self.alpha[i] != 0]
        # w を計算 (式1)
        for i in indexes_sv:
            self.w += self.alpha[i] * y[i] * X[i]
        # b を計算 (式2)
        for i in indexes_sv:
            self.b += y[i] - (self.w @ X[i])
        self.b /= len(indexes_sv)
        # 学習完了のフラグを立てる
        self.is_trained = True

    def predict(self, X):
        """
        予測値を返却する

        Parameters
        ----------
        X : NDArray[NDArray[float]]
            分類したいデータ: (any, num_features)の行列

        Returns
        -------
        result : NDArray[int]
            分類結果 -1 or 1: (any, )のndarray
        """
        if not self.is_trained:
            raise Exception('This model is not trained.')

        hyperplane = X @ self.w + self.b
        result = np.where(hyperplane > 0, 1, -1)
        return result
        
    def _cycle(self, X, y):
        """
        勾配降下法の1サイクル

        Parameters
        ----------
        X : NDArray[NDArray[float]]
            学習データ: (num_samples, num_features)の行列
        y : NDArray[float]
            学習データの教師ラベル: (num_samples)のndarray
        """
        y = y.reshape([-1, 1])  # (num_samples, 1)の行列にreshape
        H = (y @ y.T) * (X @ X.T)  # (式3)
        # 勾配ベクトルを計算
        grad = np.ones(self.num_samples) - H @ self.alpha  # (式4)
        # alpha(未定乗数)の更新
        self.alpha += self.eta * grad
        # alpha(未定乗数)の各成分はゼロ以上である必要があるので負の成分をゼロにする
        self.alpha = np.where(self.alpha < 0, 0, self.alpha)

irisデータセットを用いたSVMの動作確認

 例として用いるデータはirisデータセットを使用します。 irisデータセットは3種類の品種: Versicolour, Virginica, Setosa の花弁(petal)とガク(sepal)の長さで構成されています。

scikit-learnライブラリを用いてirisデータセットを読み込んでみましょう。

import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_iris

iris = load_iris()  # irisデータセットの読み込み
df_iris = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df_iris['class'] = iris.target
df_iris
▲irisデータセット

今回はロジスティック回帰の2値分類をおこないます。class = 0, 1 のデータだけに注目します。また、簡単のために特徴量は petal length, petal width の2つとします。

df_iris = df_iris[df_iris['class'] != 2]  # class = 0, 1のデータのみを取得
df_iris = df_iris[['petal length (cm)', 'petal width (cm)', 'class']]
X = df_iris.iloc[:, :-1].values
y = df_iris.iloc[:, -1].values
y = np.where(y==0, -1, 1)  # class = 0のラベルを-1に変更する

また、データセットの平均値0, 標準偏差1となるように標準化をおこないます。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 標準化のインスタンスを生成(平均=0, 標準偏差=1 に変換)
sc = StandardScaler()
X_std = sc.fit_transform(X)

モデルの汎化性能を評価するために、データセットを訓練データセットとテストデータセットに分割します。ここでは訓練データ80%, テストデータ20%の割合で分割しました。

from sklearn.model_selection import train_test_split

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_std, y, test_size=0.2, random_state=42, stratify=y)

また、プロットクラスもここで定義しておきます。

# 分類境界のプロットクラスを定義
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap

class DecisionPlotter:
    def __init__(self, X, y, classifier, test_idx=None):
        self.X = X
        self.y = y
        self.classifier = classifier
        self.test_idx = test_idx
        self.colors = ['#de3838', '#007bc3', '#ffd12a']
        self.markers = ['o', 'x', ',']
        self.labels = ['setosa', 'versicolor', 'virginica']
    
    def plot(self):
        cmap = ListedColormap(self.colors[:len(np.unique(self.y))])
        # グリットポイントの生成
        xx1, xx2 = np.meshgrid(
            np.arange(self.X[:,0].min()-1, self.X[:,0].max()+1, 0.01),
            np.arange(self.X[:,1].min()-1, self.X[:,1].max()+1, 0.01))
        # 各meshgridの予測値を求める
        Z = self.classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
        Z = Z.reshape(xx1.shape)
        # 等高線のプロット
        plt.contourf(xx1, xx2, Z, alpha=0.2, cmap=cmap)
        plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
        plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())
        # classごとにデータ点をプロット
        for idx, cl, in enumerate(np.unique(self.y)):
            plt.scatter(
                x=self.X[self.y==cl, 0], y=self.X[self.y==cl, 1], 
                alpha=0.8, 
                c=self.colors[idx],
                marker=self.markers[idx],
                label=self.labels[idx])
        # テストデータの強調
        if self.test_idx is not None:
            X_test, y_test = self.X[self.test_idx, :], self.y[self.test_idx]
            plt.scatter(
                X_test[:, 0], X_test[:, 1], 
                alpha=0.9, 
                c='None', 
                edgecolor='gray', 
                marker='o', 
                s=100, 
                label='test set')
        plt.legend()

それでは、irisデータセットを用いてSVMの動作確認をおこないます。

# svmのパラメータを学習
hard_margin_svm = HardMarginSVM()
hard_margin_svm.fit(X_train, y_train)

# 学習データとテストデータを結合
X_comb = np.vstack((X_train, X_test))
y_comb = np.hstack((y_train, y_test))
# プロット
dp = DecisionPlotter(X=X_comb, y=y_comb, classifier=hard_margin_svm, test_idx=range(len(y_train), len(y_comb)))
dp.plot()
plt.xlabel('petal length [standardized]')
plt.ylabel('petal width [standardized]')
plt.show()
▲フルスクラッチのSVM実行結果

このように決定曲線がプロットできました。

scikit-learnを用いたSVMの実装

 scikit-learn を用いたSVMの実行は下記のようにできます。

from sklearn import svm

sk_svm = svm.LinearSVC(C=1e10, random_state=42)
sk_svm.fit(X_train, y_train)

# 訓練データとテストデータを結合
X_comb = np.vstack((X_train, X_test))
y_comb = np.hstack((y_train, y_test))
# プロット
dp = DecisionPlotter(X=X_comb, y=y_comb, classifier=sk_svm, test_idx=range(len(y_train), len(y_comb)))
dp.plot()
plt.xlabel('petal length [standardized]')
plt.ylabel('petal width [standardized]')
plt.show()
▲scikit-learnのSVM実行結果

scikit-learnでもこのように決定曲線をプロットすることができました。

以上のコードはこちら▼で試すことができます。

Google Colab

▼ ソフトマージンSVMの実装はこちら

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